Computersimulation von Zufallsprozessen: Extremwertstatistik, Rekurrenzen und die Bewertung pfadabhängiger Derivate

Diplomarbeit aus dem Jahr 2004 im Fachbereich Physik - Sonstiges, Note: sehr gut, Johannes Gutenberg-Universität Mainz (Physik), Sprache: Deutsch, Abstract: Zur Kennzeichnung stochastischer Prozesse x(t) fallen einem zuerst einmal Größen wie Mittelwert, Varianz, Schiefe oder Exzess ein. Anders gesagt, man denkt an die Verteilung p(x, t) und ihre Momente. Es gibt aber andere Klassen von Observablen, die nicht durch die Eigenschaften des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt gegeben sind, sondern beispielsweise vom Verhalten der Realisierung x(t) in einem ganzen Zeitintervall [0, T] abhängen. Hierzu gehören Größen wie die mittlere erste Passagezeit von einem Wert x0 zu einem anderen Wert x1 oder die Frage nach dem Maximalwert xm, den x(t) in [0, T] einnimmt. Wenn x(t) den Preisprozess eines Finanzinstruments darstellt, so ist das erwartete Extremwertverhalten dieses Prozesses Grundlage für die Konstruktion komplexer, pfadabhängiger Finanzderivate und wichtig für die Risikoabschätzung von Portfolios oder Krediten. Hier wird üblicherweise mit gaußschen Prozessen gerechnet. Intensive Analysen der letzten zehn Jahre aus dem Bereich der Econophysics haben allerdings gezeigt, dass die Verteilung der Inkremente des Preisprozesses p(x(t)) gegenüber einer Gaußverteilung stark verbreitert ist und z.B. durch eine abgeschnittene Lévy-Verteilung beschrieben werden kann. In dieser Arbeit wird mit Blick auf die Anwendungen in der Econophysics mittels Computersimulation der allgemeinen Frage nachgegangen, welche Eigenschaften der stochastische Prozess auf einem endlichen Zeitintervall für die Brownsche Bewegung, einen Lévy- Flight oder einen truncated Lévy-Flight hat. Nachdem in Kapitel 1 die mathematischen Grundlagen bespochen werden, enthält Kapitel 2 eine Beschreibung und Verifikation der numerischen Methoden. Kapitel 3 ist eine Zusammenfassung oder Grundlagenaufarbeitung aus der Econophysics. Es wird der Begriff Derivat erläutert, sowie ein kleiner Überblick über die Empirie von Preisfluktuationen gegeben und verschiedene Modellierungsmöglichkeiten aufgezeigt. Kapitel 4 stellt dann exemplarisch Ergebnisse der Simulationen dar, die sich für die verschiedenen stochatischen Prozesse ergeben. Im Anhang befindet sich der C++ Quell-Code, der direkt für eine praktische Anwendung innerhalb eines Risikomanagementsystem eines Finanzinstituts oder Asset Managers verwendet werden kann.